Menurunkan Rumus Luas Bangun Datar dari Persegi Panjang

Dalam artikel ini, kita akan menurunkan beberapa rumus luas bangun datar dari persegi panjang. Kenapa persegi panjang? Karena rumus luas persegi panjang dapat ditemukan secara intuitif. Lalu kita gunakan rumus luas persegi panjang untuk menurunkan rumus luas bangun datar lainnya.

Persegi Panjang#

Jika terdapat persegi panjang dengan panjang $p$ dan lebar $l$, maka luasnya adalah $p \cdot l$.

$$L = p \cdot l$$

$p$ dan $l$ hanyalah pelabelan sisi pada persegi panjang. $p$ tidak harus lebih panjang dari $l$.

Persegi#

Persegi dapat dipandang sebagai kasus khusus persegi panjang, yaitu saat $p = l$. Persegi di atas memiliki panjang sisi $s$. Jadi luasnya adalah $s \cdot s = s^2$.

$$L = s^2$$

Segitiga#

Segitiga yang akan kita cari rumusnya merupakan segitiga dengan panjang sisi alas dan tinggi yang diketahui nilainya. Segitiga dapat dibagi berdasarkan sudutnya: siku-siku, lancip, dan tumpul. Akan kita buktikan bahwa ketiganya memiliki rumus luas yang sama.

Mari kita mulai dari segitiga siku-siku.

Segitiga Siku-Siku#

Segitiga di atas memiliki alas $a$ dan tinggi $t$. Kita bisa gandakan segitiga dan menyusun salinannya sehingga kedua sisi miring saling berimpit dan membentuk persegi panjang.

Telihat bahwa terbentuk persegi panjang dengan panjang $a$ dan tinggi $t$. Artinya, dua kali luas segitiga bernilai $a \cdot t$.

$$ \begin{aligned} 2 \cdot L &= a \cdot t \\ \frac{2 \cdot L}{2} &= \frac{a \cdot t}{2} \\ L &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot t \\ \end{aligned} $$

Segitiga Lancip#

Segitiga lancip di atas dapat dibelah menjadi dua segitiga siku-siku yang panjang alasnya masing-masing $b$ dan $c$, di mana $b + c = a$.

Luas segitiga lancip adalah jumlah dari luas segitiga siku-siku kiri dan kanan.

$$ \begin{aligned} L &= \frac{1}{2} \cdot b \cdot t + \frac{1}{2} \cdot c \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (b \cdot t + c \cdot t) \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (b + c) \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot t \\ \end{aligned} $$

Segitiga Tumpul#

Jika alas segitiga tumpul adalah sisi terpanjangnya, maka kita bisa turunkan rumusnya dengan cara sebelumnya. Namun, bagaimana jika alasnya adalah salah satu sisi yang lebih pendek seperti segitiga berikut?

Luasnya dapat diturunkan dengan mengurangi luas segitiga siku-siku besar dengan luas segitiga siku-siku kecil yang masing-masing memiliki panjang alas $c$ dan $b$, di mana $c - b = a$.

$$ \begin{aligned} L &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot t - \frac{1}{2} \cdot b \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (c \cdot t - b \cdot t) \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (c - b) \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot t \\ \end{aligned} $$

Trapesium#

Trapesium juga dapat dibagi berdasarkan sudutnya: siku-siku, lancip, dan tumpul. Karena penurunan rumusnya mirip dengan segitiga, maka bagian ini akan dibuat lebih singkat.

Trapesium di atas memiliki sisi atas $a$, sisi bawah $b$, dan tinggi $t$. Trapesium siku-siku bisa dilihat sebagai gabungan antara persegi panjang dan segitiga siku-siku.

$$ \begin{aligned} L &= a \cdot t + \frac{1}{2} \cdot c \cdot t \\ L &= \frac{2 \cdot a \cdot t}{2} + \frac{1}{2} \cdot c \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot a \cdot t + c \cdot t) \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a \cdot t + a \cdot t + c \cdot t) \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a \cdot t + (a + c) \cdot t) \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a \cdot t + b \cdot t) \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot t \\ \end{aligned} $$

Trapesium lancip bisa dilihat sebagai gabungan antara segitiga siku-siku dan trapesium siku-siku.

$$ \begin{aligned} L &= \frac{1}{2} \cdot c \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (c + a + d) \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a + c + d) \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a + (c + d)) \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot t \\ \end{aligned} $$

Trapesium tumpul jarang muncul pada persoalan matematika. Namun, ditambahkan di sini untuk mendemontrasikan bahwa rumus luasnya sama dengan rumus luas trapesium jenis lainnya.

Luas trapesium tumpul bisa diturunkan dengan mengurangi luas trapesium siku-siku dengan luas segitiga siku-siku.

$$ \begin{aligned} L &= \frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot c \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a + d - c) \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a + (d - c)) \cdot t \\ L &= \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot t \\ \end{aligned} $$

Jajargenjang#

Jajargenjang di atas memiliki sisi alas $a$ dan tinggi $t$. Kita bisa membelah jajargenjang sehingga menghasilkan trapesium siku-siku dan segitiga siku-siku. Kemudian kita susun ulang sedemikian sehingga sisi miring trapesium dan segitiga saling berhimpit dan akhirnya menghasilkan persegi panjang.

Luasnya sama dengan luas persegi panjang dengan panjang $a$ dan lebar $t$, sehingga rumus luasnya adalah $a \cdot t$.

$$L = a \cdot t$$

Layang-Layang#

Layang-layang di atas memiliki dua diagonal dengan panjang $d_1$ dan $d_2$. Kita bisa membelah layang-layang pada salah satu diagonalnya sehingga menghasilkan dua segitiga yang identik.

Untuk layang-layang di atas, kita bisa membelah layang-layang melalui diagonal dengan panjang $d_2$ dan menghasilkan dua segitiga dengan alas $d_2$ dan tinggi $\frac{d_1}{2}$

Luas layang-layang adalah dua kali luas segitiga.

$$ \begin{aligned} L &= 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot d_2 \right) \\ L &= \frac{d_1}{2} \cdot d_2 \\ L &= \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \\ \end{aligned} $$

Belah Ketupat#

Belah ketupat hanyalah kasus khusus layang-layang di mana semua sisinya memiliki panjang yang sama. Jadi rumus luasnya sama dengan layang-layang.

$$L = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$